<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          7 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Andr Bolanho e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Segunda Parte

 Unidade 2

 8 -- Adio de nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 127
 Adicionando com nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 130 
 Adio de trs ou mais 
  nmeros inteiros :::::::::: 142 
 Propriedades da adio ::::: 145
 Notao simplificada de uma 
  adio de nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 155
 9 -- Subtrao de nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 159
 Ampliando o conjunto _n :::: 162
 10 -- Adio algbrica :::: 172
 11 -- Multiplicao de 
  nmeros inteiros :::::::::: 182
 Multiplicando com nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 182 
 Propriedades da 
  multiplicao ::::::::::::: 189
 Expresses numricas ::::::: 196 
<p>
 Aprendendo a manipular a 
  memria de uma 
  calculadora ::::::::::::::: 200
 12 -- Diviso de nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 207
 Expresses numricas ::::::: 213
 13 -- Potenciao de 
  nmeros inteiros :::::::::: 214
 Consideraes a respeito da 
  potenciao de nmeros 
  inteiros :::::::::::::::::: 216 
 Propriedades da potenciao 
  em _z ::::::::::::::::::::: 219
 Expresses numricas ::::::: 223
 14 -- Raiz quadrada exata 
  de nmeros inteiros ::::::: 225
 15 -- Expresses 
  numricas ::::::::::::::::: 229
 Tratando a informao 
  Analisando grficos com 
  nmeros negativos ::::::::: 232
 Retomando o que aprendeu ::: 239

<45>
<ta c. mat. 7 ano>
<T+127>
 8 -- Adio de nmeros inteiros

 wr Geografia/Meio Ambiente

 Explorando 

  Cada vez mais o ser humano se preocupa com as mudanas climticas que vm ocorrendo em
nosso planeta. Um meio de monitorar essas mudanas  o estudo permanente da temperatura nos
diversos pontos da Terra. Alm disso, esses dados coletados so muito 
teis para ns no cotidiano.

<R+>
 1. As situaes seguintes esto relacionadas
s temperaturas de
algumas cidades, medidas em
um determinado dia.
 a) Em Braslia, capital do Brasil,
a temperatura mnima foi
de 20C. Como a temperatura
nesse dia subiu 8C, qual foi a
temperatura mxima registrada
em Braslia nesse dia?
<p>
 b) Em Toronto, no Canad, s
6 horas da manh, os termmetros
registravam -1C. Ao
meio-dia, a temperatura tinha
aumentado em 6C. Qual a
temperatura ao meio-dia?
 c) J em Chicago, nos Estados Unidos da Amrica, a temperatura 
medida  meia-noite
foi de -8C.
Ao meio-dia,
a temperatura havia subido 7C. Qual a temperatura medida em Chicago 
ao meio-dia?

<46>
 2. Observe as temperaturas mnimas e mximas registradas nesse mesmo dia em mais algumas
cidades.

 o Vista geral da cidade de Seul (Coreia do Sul): temperatura
mnima de -5C e temperatura mxima de 0C.
 o Palcio Casa Rosada e Plaza de Mayo em Buenos Aires
(Argentina): temperatura mnima de 18C e temperatura
mxima de 21C.
 o Prdio do Reichstag, parlamento alemo, em Berlim
  (Alemanha): temperatura mnima de -3C e
temperatura mxima de 2C.
 o Praa Vermelha e Kremlin em Moscou (Rssia):
temperatura mnima de -6C e temperatura
mxima de -2C.
 o Mesquitas Hasan e Rifai no Cairo (Egito): temperatura
mnima de 21C e temperatura mxima de 33C.

 a) Calcule em quanto variou a temperatura
em cada uma das cidades nesse dia.
 b) Como voc fez para calcular essas variaes?
 c) Como voc registraria esses clculos usando
a linguagem matemtica? Discuta com os
colegas as diferentes maneiras encontradas.
<R->

<47>
<p>
 Adicionando com nmeros inteiros

  Vamos analisar as seguintes situaes:

<R+>
 1- Disputando um torneio de 
  handebol, a equipe da Escola do Bairro obteve 4 pontos no primeiro
turno e 5 pontos no segundo turno. Quantos pontos a equipe obteve nesse torneio?

 Nessa situao, devemos calcular `(+4`)+`(+5`), o que  fcil de ser feito mentalmente.
 Mas, vamos primeiro representar esse clculo na reta numrica:

<F->
            +9
     :::::::::::::::::>
        +4  _  +5
     :::::::>_:::::::::>
:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:
-1  0     +4       +9
<F+>

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo.
 o A partir do ponto associado ao +4, fazemos um novo deslocamento de 5 unidades
no sentido positivo.

 O deslocamento total foi de 9 unidades no sentido positivo.
 Ento: `(+4`)+`(+5`)=+9
 A equipe obteve 9 pontos.

 2- Nesse mesmo torneio, a equipe da Escola Fundamental perdeu 2 pontos no primeiro turno
e 4 pontos no segundo turno. Quantos pontos a equipe perdeu nesse torneio?
  Devemos calcular `(-2`)+`(-4`).

<F->
            -6
     <:::::::::::::
        -4  _  -2
     <:::::::_<:::::
:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w
-7 -6     -2    0   +2
<F+>

<p>
 o A partir do 0, fazemos um deslocamento de 2 unidades no sentido negativo.
 o A partir do ponto associado ao -2, fazemos um novo deslocamento de 4 unidades
no sentido negativo.

 O deslocamento total foi de 6 unidades no sentido negativo.
 Ento: `(-2`)+`(-4`)=-6
 Essa equipe perdeu 6 pontos.

<48>
 3- Antes da realizao desse torneio de handebol, as equipes fizeram exame mdico no
prdio do Centro Esportivo da cidade. Para chegar ao andar do consultrio mdico, os
jogadores da equipe da Escola do Bairro entraram no elevador no trreo. Subiram, inicialmente,
3 andares e, em seguida, 4 andares, onde desceram. Em qual andar a equipe de
handebol desceu do elevador?
  Devemos calcular `(+3`)+`(+4`).

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento de 3 unidades no sentido positivo.
 o A partir do ponto associado ao +3, fazemos um novo deslocamento 
de 4 unidades no sentido positivo.

 O deslocamento total foi de 7 unidades no sentido positivo.
 Ento: `(+3`)+`(+4`)=+7
 A equipe desceu no 7 andar.

 4- No dia da final do torneio de handebol, os termmetros da cidade 
marcaram a temperatura
de -5C, durante o dia. De madrugada, a temperatura baixou 7C. Qual foi a temperatura
registrada de madrugada nessa cidade?
  Devemos calcular `(-5`)+`(-7`).

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento de 5 unidades
no sentido negativo.
<p>
 o A partir do ponto associado ao -5, fazemos um novo
deslocamento de 7 unidades no sentido negativo.

 O deslocamento total foi de 12 unidades no sentido negativo.
 Ento: `(-5`)+`(-7`)=-12
 De madrugada, a temperatura chegou a -12C.
<R->

<49>
  De modo geral:

<R+>
 o Quando os dois nmeros forem positivos, a soma ser um nmero positivo.
 o Quando os dois nmeros forem negativos, a soma ser um nmero 
negativo.
 o O mdulo do resultado  igual  soma dos mdulos das parcelas.
<R->

  Ento:

<R+>
 o `(+15`)+`(+21`)=+36
  + :> sinal comum s parcelas
  36 :> soma dos mdulos
 
 o `(-42`)+`(-37`)=-79
  - :> sinal comum s parcelas
  79 :> soma dos mdulos
<R->

  Vamos analisar outras situaes:

<R+>
 1- Jonas acompanhou dois passageiros que entravam no elevador no 
trreo. Desceu, inicialmente,
2 andares e, em seguida, subiu 6 andares. Em qual andar o elevador 
parou?
  Devemos calcular `(-2`)+`(+6`).

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento de 2 unidades
no sentido negativo.
 o A partir do ponto associado ao -2, fazemos um novo
deslocamento de 6 unidades no sentido positivo.

 O deslocamento real foi de 4 unidades no sentido positivo.
 Ento: `(-2`)+`(+6`)=+4
 O elevador parou no 4 andar.

 2- Em uma cidade, a temperatura durante o perodo da tarde foi
de +4C. Durante a noite, a temperatura baixou 7C. Qual foi
a temperatura registrada nessa cidade, durante a noite?
  Vamos calcular `(+4`)+`(-7`).

 o Partindo do 0, fazemos um deslocamento de
4 unidades no sentido positivo.
 o A partir do ponto associado ao +4, fazemos um
novo deslocamento de 7 unidades no sentido
negativo.

 O deslocamento real foi de 3 unidades no sentido
negativo.
 Ento: `(+4`)+`(-7`)=-3
  noite, a temperatura chegou a -3C.

<50>
 3- Durante um torneio de futebol, uma equipe marcou 9 gols e sofreu 3. Qual foi o saldo de
gols dessa equipe no campeonato?
  Devemos calcular `(+9`)+`(-3`).

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento
de 9 unidades no sentido
positivo.
 o A partir do ponto associado ao
+9, fazemos um novo deslocamento
de 3 unidades no sentido
negativo.

 O deslocamento real foi de 6 unidades no sentido positivo.
 Ento: `(+9`)+`(-3`)=+6
 O saldo desse time foi de 6 gols.

 4- Um grupo andou 6 km a oeste de um ponto, em uma trilha. A seguir, o grupo voltou 1 km
para leste e parou em uma cachoeira. Qual a posio do grupo em relao ao ponto inicial
da caminhada?
  Devemos calcular `(-6`)+`(+1`).

 o A partir do 0, fazemos um deslocamento
de 6 unidades no sentido
negativo.
<p>
 o A partir do ponto associado ao
-6, fazemos um novo deslocamento
de 1 unidade no sentido
positivo.

 O deslocamento real foi de 5 unidades no sentido negativo.
 Ento: `(-6`)+`(+1`)=-5
 A posio do grupo  de 5 km a oeste do ponto inicial da caminhada.
<R->

  A bssola  um equipamento de segurana em aventuras.
  O termo bssola vem do latim *buxula*, que quer dizer "caixinha".
   composta de uma agulha magntica mvel em torno de
um eixo, que passa pelo seu centro de gravidade. A agulha
magnetizada sempre aponta para o Norte, facilitando a
orientao dos viajantes.

<51>
<p>
  De modo geral:

<R+>
 o Quando dois nmeros tiverem sinais diferentes, o sinal do resultado 
corresponder ao sinal do nmero que est mais distante da origem.
 o O mdulo do resultado  igual  diferena entre os mdulos das 
parcelas.

 Assim:

 o `(-16`)+`(+20`)=+4
 + :> sinal positivo, pois +20 est mais distante do 0 do que -16
 4 :> diferena entre os mdulos dos nmeros

 o `(-100`)+`(+42`)=-58
 - :> sinal negativo, pois -100 est mais distante do 0 do que +42
 58 :> diferena entre os mdulos dos nmeros

 5- Durante a noite, os termmetros de uma cidade marcaram uma 
temperatura de -5C.
Durante a manh, a temperatura subiu 5C. Que temperatura os termmetros marcaram
durante a manh?

 Devemos calcular `(-5`)+`(+5`).
 Pelo esquema _`[no adaptado_`], voc observa que o deslocamento real foi 0, pois partimos do 0 e voltamos para o mesmo 0.
 Ento: `(-5`)+`(+5`)=0
 Durante a manh os termmetros indicavam 0C.
<R->

  A soma de dois nmeros inteiros opostos ou simtricos  igual a 0.

 Desafios!

<R+>
 1. Qual  o segredo da pirmide? Para descobrir,
troque ideias com os colegas e observem o
nmero de um bloco e os nmeros dos blocos
que o apoiam.
<L>
<F->
            !::::::
            l -92 _
         !::h:::!::j:::
         l -41 l -51 _
      !::h:::!::h:::!::j:::
      l -19 l -22 l -29 _
   !::h::!:::h::!:::h::!:::j::
   l -9 l -10 l -12 l -17 _
 !:h:::!:h:::!::h:::!::h::!:::j:
 l -3 l -6 l -4  l -8 l -9 _
 h:::::h:::::h::::::h:::::h:::::j
<F+>

 2. A pirmide a seguir tem o mesmo segredo
da pirmide do exerccio 1. Reproduza-a
no caderno completando-a com os nmeros que faltam.

<p>
<F->
             !:::::
             l  ?  _
          !::h::!::j::
          l  ?  l  ?  _
      !:::h::!::h:::!:j:::
      l  ?   l  ?   l  ?  _
   !::h:::!::h::!:::h:!:::j::
   l  ?   l -4 l  ?  l +12 _
 !:h:::!::h::!::h::!::h::!:::j:
 l -8 l -4 l  ?  l +4 l  ?  _
 h:::::h:::::h:::::h:::::h:::::j
<F+>
<R->

<52>
 Adio de trs ou mais nmeros 
  inteiros

  Acompanhe a situao a seguir.
  Uma loja de calados tem quatro departamentos. A tabela seguinte mostra a venda de
cada departamento no ms de maro, em relao ao ms anterior.

<p>
 _`[{tabela em 2 colunas adaptada_`]
 Venda de calados

 1 Departamento de calados
 2 Vendas de maro em relao a 
  fevereiro

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l    1     _        2        _
r::::::::::::w:::::::::::::::::::w
l masculinos _ 60 pares a mais  _
l            _  :> `(+60`)        _
r::::::::::::w::::::::>::::::::::w
l femininos  _ 45 pares a menos _
l            _  :> `(-45`)        _
r::::::::::::w:::::::::::::::::::w
l infantis   _ 18 pares a menos _
l            _  :> `(-18`)        _
r::::::::::::w:::::::::::::::::::w
l esportivos _ 30 pares a mais  _
l            _  :> `(+30`)        _
h::::::::::::j:::::::::::::::::::j
<F+>

  Vamos verificar o resultado final da loja no ms de maro, em relao 
a fevereiro:

`(+60`)+`(-45`)+`(-18`)+`(+30`)=
  =`(+15`)+`(-18`)+`(+30`)=
  =`(-3`)+`(+30`)=
  =+27

  Em maro essa loja vendeu 27 pares de calados a mais do que em 
fevereiro.
  Podemos chegar a esse mesmo resultado, procedendo assim:

<R+>
 o Adicionando as quantidades positivas: `(+60`)+`(+30`)=+90
 o Adicionando as quantidades negativas: `(-45`)+`(-18`)=-63
 o Adicionando os resultados obtidos: `(+90`)+`(-63`)=+27
<R->

  Agora, vamos usar dois modos diferentes para calcular esta soma:

 `(-9`)+`(+11`)+`(+13`)+`(-20`)+`(-2`)

<p>
 1 modo: 
`(-9`)+`(+11`)+`(+13`)+`(-20`)+`(-2`)=
  =`(+2`)+`(+13`)+`(-20`)+`(-2`)= 
  =`(+15`)+`(-20`)+`(-2`)= 
  =`(-5`)+`(-2`)=-7 

 2 modo:
`(-9`)+`(+11`)+`(+13`)+`(-20`)+`(-2`)=
  =`(+11`)+`(+13`)+`(-9`)+`(-20`)+
  +`(-2`)=
  =`(+24`)+`(-31`)=
  =-7

 Propriedades da adio

<R+>
 1 propriedade: A soma de dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro.
 o `(+3`)+`(+5`)=+8, e +8,_z.
 o `(-7`)+`(-3`)=-10, e -10,_z.
 o `(+11`)+`(-8`)=+3, e +3,_z.
 o `(+7`)+`(-13`)=-6, e -6,_z.
<R->

  Essa  a propriedade de fechamento.

<53>
<p>
<R+>
 2 propriedade: A ordem das parcelas em uma adio no altera a soma.
 o `(+11`)+`(-9`)=+2
ou 
 o `(-9`)+`(+11`)=+2

 :> `(+11`)+`(-9`)=`(-9`)+`(+11`)
<R->

  Essa  a propriedade comutativa.

<R+>
 3 propriedade: Associando-se as parcelas de maneiras diferentes, obtm-se a mesma soma.
 o `(-8`)+`(-2`)+`(+7`)=`(-10`)+
  +`(+7`)=-3
 o `(-8`)+`(-2`)+`(+7`)=`(-8`)+
  +`(+5`)=-3
<R->

  Essa  a propriedade associativa.

<R+>
 4 propriedade: O nmero 0  o elemento neutro da adio em _z.
 o `(+8`)+0=0+`(+8`)=+8
 o `(-7`)+0=0+`(-7`)=-7
<R->

<p>
  Essa  a propriedade de existncia do elemento neutro.

 Observao:
  Alm dessas propriedades da adio, que tambm so vlidas para o 
conjunto _n, o conjunto _z apresenta uma nova propriedade: existncia do elemento oposto.
<R+>
 o `(-8`)+`(+8`)=0 :> -8  o elemento oposto ou simtrico de +8 e vice-versa.
 o `(+13`)+`(-13`)=0 :> +13  o elemento oposto ou simtrico de -13 e 
vice-versa.

 Exerccios

 1. Calcule as somas:
 a) `(+11`)+0 
 b) 0+`(-13`) 
 c) `(-34`)+`(-3`) 
 d) `(-8`)+`(-51`) 
 e) `(+21`)+`(+21`) 
 f) `(+49`)+`(-60`)
 g) `(-130`)+`(-125`)
 h) `(+49`)+`(+121`)
 i) `(+820`)+`(-510`)
 j) `(-162`)+`(-275`)

 2. Jonas est animado com seu trabalho de
ascensorista (cabineiro) no Grande Hotel. Veja
as anotaes que Jonas fez no perodo das 7 horas
s 9 horas, em que ele indicou S para "sobe"
e D para "desce". Use a adio de nmeros inteiros
e diga em que andar o elevador parou por
ltimo, em cada caso.

 Legenda:
 S -- representa uma seta para cima
 D -- representa uma seta para baixo

 a) trreo S2 S3 D6
 b) trreo D2 D1 S3
 c) trreo D3 S3
 d) trreo D3 S4 S3 D6
 e) trreo D1 S6 D6 S1

<p>
 3. A Escola do Bairro organizou uma Olimpada
de Matemtica para os alunos do 7 ano.
Os grupos da classe de Davi fizeram a seguinte
pontuao nas duas fases da olimpada:

 Pontuao `(7 ano A`)

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l grupo _ pontos na _ pontos na _
l       _ 1 fase  _ 2 fase  _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l A    _ 13       _ 18       _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l B    _ -12      _ 34       _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l C    _ -3       _ 25       _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l D    _ 28       _ -5       _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l E    _ 21       _ 18       _
h:::::::j:::::::::::j:::::::::::j
<F+>

<p>
 a) Usando a adio de nmeros inteiros, calcule
quantos pontos cada grupo obteve nessa
olimpada.
 b) Analisando a pontuao total dos grupos, indique
os trs primeiros colocados nessa classe.

<54>
 4. Caio tem 3.600 reais na sua conta bancria.
Se ele fizer uma retirada de 4.000 reais, como
ficar o seu saldo?
 5. Uma florista teve, no sbado, um prejuzo
de 12 reais. No domingo, porm, teve um lucro
de 29 reais. Esse fim de semana deu lucro ou
prejuzo  florista? De quanto?

 wr Histria

 6. Em que ano Jlio Csar morreu?

 o Sabe-se que Jlio Csar, famoso
conquistador e cnsul romano, nasceu
no ano 100 a.C. e morreu com 56 anos
de idade.
<L>
 wr Histria
 
 7. Em que ano Marco Antnio
nasceu?

 o Marco Antnio, sucessor de
Jlio Csar, morreu em 30 a.C.,
com 52 anos.

 Fonte: *Almanaque Abril 97*.
  So Paulo: Abril, 1997.

 wr Cincias

 8. Sabe-se que na atmosfera, a
temperatura diminui cerca de 1C a cada 200 m
de afastamento da superfcie terrestre. Se a
temperatura na superfcie  de +20C, qual
ser a temperatura na atmosfera a uma altura
de 10 km?
 9. Em um programa de perguntas e respostas,
a cada resposta correta, Carlos recebia 20 reais
do apresentador do programa. Porm, a cada
resposta errada, pagava 22 reais. De 100 perguntas,
Carlos acertou 52. Ele ganhou ou perdeu
dinheiro nesse programa? Quantos reais?

 10. Determine o nmero inteiro que se deve
colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras
as igualdades:
 a) x+`(+9`)=+13 
 b) x+`(-6`)=-10 
 c) x+`(-7`)=0 
 d) x+`(-3`)=+3
 e) x+`(+7`)=-3
 f) `(-20`)+x=-18
 
 11. O saldo bancrio de Srgio, no dia 2 de
junho, era de R$7.200,00. No perodo de 3 a 6
de junho, o seu extrato mostrava o seguinte
movimento:

<p>
 _`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
 Saldo bancrio

 Legenda:
 1 coluna: Data
 2 coluna: Movimento
 3 coluna: Valor (em reais) 

 !::::::::::::::::::::::::::
 l  1   _   2   _   3   _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::w
 l 3/6 _ crdito _ 10.000 _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::w
 l 4/6 _ dbito  _ 13.000 _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::w
 l 5/6 _ dbito  _ 8.000  _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::w
 l 6/6 _ crdito _ 5.000  _
 h::::::::j:::::::::j:::::::::j

 Usando a adio de nmeros inteiros, d o saldo bancrio de Srgio 
no dia 6 de junho.

<p>
 12. Vamos calcular?
 a) `(+27`)+`(+13`)+`(-28`)
 b) `(-50`)+`(-30`)+`(-12`)
 c) `(+90`)+`(-75`)+`(-47`)
 d) `(-11`)+`(+20`)+`(+35`)+`(-27`)
 e) `(+32`)+`(-68`)+`(-22`)+`(+48`)
 f) `(+99`)+`(-100`)+`(-100`)+`(+98`)+
  +`(-10`)
 g) `(-73`)+`(-22`)+`(-45`)+`(-92`)+
  +`(+250`)

 13. Os nmeros *a* e *b* so inteiros. Se *a* e *b* so
opostos, quanto d a adio de a+b?
 14. Os nmeros *a* e *b* so inteiros positivos.
 correto afirmar que a+b  um nmero positivo?

 15. Sabe-se que a=-73, b=+51 e c=-17.
Nessas condies, calcule o valor de:
 a) a+b 
 b) a+c 
 c) b+c
 d) a+b+c

<55>
<p>
 Notao simplificada de uma 
  adio de nmeros inteiros
<R->

  Em Matemtica, a adio `(+9`)+`(+3`), por exemplo, pode ser escrita de 
uma maneira mais simples; `(+9`)+`(+3`) tem o mesmo significado de 9+3.
  Veja outros exemplos:
<R+>
 o A adio `(+10`)+`(-15`) tem o mesmo significado que +10-+5, ou, simplesmente,
10-15.
 o A adio `(-8`)+`(+10`) tem o mesmo significado que -8+10.
 o A adio `(-6`)+`(-15`) tem o mesmo significado que -6-15.
<R->

  Note que eliminamos o sinal + da adio e os parnteses das 
parcelas, escrevendo apenas essas parcelas, uma seguida da outra, cada qual com o seu prprio sinal.
   forma simplificada aplicamos as mesmas regras j estudadas. Veja:
<R+>
 o 13-19=+13-19=-6
 o -21+32=+11
 o -7-29=-36
 o 23-9-18+15=23+15-9-18=
  =+38-27=+11
 o -18+35+62-47-31=+35+
  +62-18-47-31=+97-96=+1

 Exerccios

 1. Escreva na forma simplificada e calcule as
adies:
 a) `(+20`)+`(-18`) 
 b) `(-30`)+`(+21`) 
 c) `(-81`)+`(-17`)
 d) `(+37`)+`(+52`)
 e) `(-15`)+`(+22`)+`(-6`)

 2. Na figura seguinte que nmero inteiro deve
substituir cada letra?

<p>
<F->
!::::::::::::::::::!:::::
l -7  _ + _ -10 _ = l A  _
r::::::w:::j::::::j:::r:::::w
l  =   _              l  +  _
r::::::w              r:::::w
l -19 _              l +9 _
r::::::w              r:::::w
l  +   _              l  =  _
r::::::w::::::::::::r:::::w
l C   _ = _ +20 _ + l B  _
h::::::j:::j::::::j:::h:::::j
<F+>

 3. Calcule:
 a) 7+17 
 b) -8-2 
 c) -9+14 
 d) -4-4 
 e) 19-23 
 f) -40-11
 g) 31+14
 h) -1+30
 i) 40-63
 j) 91-57
 k) -90+10
 l) -100+104

<p>
 4. A figura tem um "segredo". Descubra-o e
escreva no caderno os nmeros inteiros que
faltam em cada linha.

<F->
           ...
         ... ...
       ... ... ...
   -80 -60 +30 +95 
 -30 -50 -10 +40 +55 
<F+>

<56>
 5. Calcule:
 a) 7+20-4 
 b) -17+14+3 
 c) 27-16-10 
 d) -25-21-40 
 e) 35+18+62 
 f) -75+70+50-61 
 g) 84-79-81+86 
 h) -64-96-77+200 
 i) -92+17+34+20
 j) 76+92-104-101+94
 k) 17-40-30-60+100
 l) 81+19-95-105+260-110

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 9 -- Subtrao de nmeros 
  inteiros
<R->

  Considere as seguintes situaes:

<R+>
 1- No sbado, a temperatura de Miranto
variou de +2C a +5C. Qual foi
a variao da temperatura?

 Esse fato pode ser representado
pela subtrao: `(+5`)-`(+2`)=+3

 2- Domingo, durante o dia, a temperatura
de Miranto era de +5C e,
 noite, a temperatura baixou 2
graus. Qual a temperatura registrada
na noite de domingo?

 Esse fato pode ser representado
pela adio: `(+5`)+`(-2`)=+3
<R->

  Se compararmos as duas igualdades, verificamos que `(+5`)-`(+2`)  
<p>
o mesmo que `(+5`)+`(-2`). Da podemos escrever:

 `(+5`)-`(+2`)=`(+5`)+`(-2`)=+3

<R+>
 3- Hoje, a temperatura de 
  Caldeiras
passou de +5C para +2C. Qual
foi a variao da temperatura?

 Esse fato pode ser representado
pela subtrao: `(+2`)-`(+5`)=-3

 4- A temperatura de Caldeiras ontem,
durante o dia, foi de +2C.  noite,
a temperatura baixou 5 graus. Qual
foi a temperatura registrada  noite?

 Esse fato pode ser representado
pela adio: `(+2`)+`(-5`)=-3
<R->

<57>
  Se compararmos as duas igualdades, verificamos que `(+2`)-`(+5`)  o mesmo que
`(+2`)+`(-5`). Da podemos escrever:

 `(+2`)-`(+5`)=`(+2`)+`(-5`)=-3
<L>
<R+>
 5- Hoje, a temperatura em Pombinhas
passou de -2C para -5C. Qual
foi a variao da temperatura?

 Esse fato pode ser representado
pela subtrao: `(-5`)-`(-2`)=-3

 6- Ontem  noite, em Pombinhas, a
temperatura marcava -5C. Durante
o dia, a temperatura subiu 2C.
  Qual foi a temperatura registrada
durante o dia?

 Esse fato pode ser representado
pela adio: `(-5`)+`(+2`)=-3
<R->

  Se compararmos as duas igualdades, verificamos que `(-5`)-`(-2`)  o 
mesmo que `(-5`)+`(+2`).

 `(-5`)-`(-2`)=`(-5`)+`(+2`)=-3

<p>
  Das situaes vistas, temos:
 `(+5`)-`(+2`)=`(+5`)+`(-2`)=+3
 `(+2`)-`(+5)=`(+2`)+`(-5`)=-3
 `(-5`)-`(-2`)=`(-5`)+`(+2`)=-3

  De modo geral:

  Subtrair dois nmeros inteiros  o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

  Veja mais estes exemplos:
 o `(+13`)-`(+2`)=`(+13`)+`(-2`)=+11
 o `(+7`)-`(+15`)=`(+7`)+`(-15`)=-8
 o `(-1`)-`(+12`)=`(-1`)+`(-12`)=-13
 o `(-9`)-`(-15`)=`(-9)+`(+15`)=+6

<58>
 Ampliando o conjunto _n

  Sabemos que, no conjunto _n, no  possvel efetuar a subtrao quando o primeiro
nmero (minuendo)  menor que o segundo nmero (subtraendo).

 3-10 no  possvel em _n

<p>
  No conjunto _z  possvel efetuar a subtrao, pois a diferena 
entre dois nmeros inteiros
 sempre um nmero inteiro.

 3-10=`(+3`)-`(+10`)=`(+3`)+
  +`(-10`)=-7 
 ou
 3-10=-7

 Exerccios

 wr Histria

<R+>
 1. Quantos anos Alexandre, o
Grande, viveu? Para responder a essa pergunta,
leia o texto a seguir e efetue a subtrao dos
nmeros inteiros. 

 o Alexandre, o Grande, nasceu
em -356 `(356 a.C.`) e morreu
em -323 `(323 a.C.`). 
  Alexandre
assumiu o trono do Imprio
Macednico expandindo-o
rumo ao Oriente. Formou 
<p>
  um dos maiores imprios territoriais conhecidos at ento.

 Fonte: Almanaque Abril 2007.
  So Paulo: Abril, 2007.

 wr Histria

 2. Quantos anos Pitgoras viveu?

 o Pitgoras, grande filsofo e
matemtico grego, nasceu
no ano -570 `(570 a.C.`) e
morreu no ano -496 `(496 a.C.`).

 Fonte: ~,www.mundodosfilosofos.~
  com.br~, Acesso em: 18 nov. 2008.

 3. Duas duplas, A e B, jogavam cartas.
 a) Na primeira rodada, a dupla A fez -150 pontos,
enquanto a dupla B fez 230 pontos. Quantos
pontos a dupla B fez a mais que a dupla A?
<p>
 b) Veja o resultado das rodadas seguintes:

 Placar

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Rodada _ dupla A _ dupla B _
 r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2     _ 300     _ -60     _
 r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 3     _ -120    _ 280     _
 r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 4     _ 220     _ 150     _
 h:::::::::j::::::::::j::::::::::j

 o Que dupla ganhou cada rodada? Com quantos
pontos a mais?

 c) Qual das expresses seguintes representa a
soma dos pontos da equipe A nas 4 rodadas?
 o `(150`)+`(+300`)+`(-120`)-`(+220`)
 o `(-150`)+`(-300`)+`(-120`)+`(+220`)
 o `(-150`)+`(+300`)+`(-120`)+`(+220`)

<p>
 d) Qual das expresses seguintes representa a
soma dos pontos da equipe B nas 4 rodadas?
 o 230+`(+60`)+`(+280`)+`(+150`)
 o 230+`(-60`)+`(+280`)+`(+150`)
 o 230+`(-60`)+`(+280`)-`(+150`)

 4. A temperatura no interior de um freezer 
de -9C. Fora do freezer, a temperatura  de
+25C. Qual  a diferena entre essas duas
temperaturas?

 5. Calcule:
 a) 0-`(-17`) 
 b) `(-9`)-`(+16`)
 c) `(+13`)-`(+20`) 
 d) 0-`(+18`) 
 e) `(-1`)-`(-19`) 
 f) `(+20`)-`(+9`)
 g) `(-4`)-`(+17`)
 h) `(+40`)-`(+80`)
 i) `(+11`)-`(-62`)
 j) `(-72`)-`(-81`)
 
<p>
 6. Mostre que:
 a) `(-11`)-`(-7`)=`(-7`)-`(-11`)
 b) `[`(-15`)-`(+9`)`]-`(-21`)=
  =`(-15`)-`[`(+9`)-`(-21`)`]

<59>
 Brasil Real

 wr Geografia/Meio ambiente

 1. Muito j se falou sobre o Brasil ser uma terra de contrastes. Um bom exemplo disso  a temperatura:
no inverno,  possvel encontrar temperaturas negativas nos pontos mais altos dos
estados do Rio Grande do Sul e Santa Catarina; enquanto no Nordeste, no vero, a temperatura
pode chegar a 40C.

 _`[{foto_`]
 Legenda: Vista geral de So Joaquim (SC) na dcada de 1990.
  Em So Joaquim, regio com altitude de cerca de
1.300 m, a temperatura pode chegar a 10C negativos
no inverno. No vero, a temperatura chega a 30C.

 _`[{foto_`]
 Legenda: Vista do bondinho e de Copacabana ao fundo, dcada
de 1990.
  A temperatura mxima j registrada na cidade do Rio de
  Janeiro (RJ), em 14 de janeiro de 1984, foi cerca de 43C.

 _`[{mapa do *Brasil* no adaptado_`]
 Legenda: J foram observadas mximas em torno de 40C no
sul do Maranho e Piau. Nos meses de inverno, o litoral
dessa regio apresenta mnimas entre 12C e 16C.

 _`[{foto_`]
 Legenda: Vista geral de 
  Xanxer, na dcada de 1990.
  A temperatura mnima j registrada na cidade de Xanxer
(SC), em 25 de julho de 1945, foi cerca de 12C negativos.

 De acordo com os textos, resolva as seguintes questes:
 a) Em um ano, qual pode ser a diferena entre a temperatura mxima e a mnima na cidade de
So Joaquim?
 b) Supondo que em 14 de janeiro de 1984 a temperatura em uma certa cidade do Maranho
estivesse em torno de 37C, qual seria a diferena entre a temperatura dessa cidade e a do Rio
de Janeiro nesse dia?
 c) Qual a diferena entre a temperatura medida na cidade de Xanxer, em 25 de julho de 1945,
e a temperatura registrada no Rio de Janeiro, em 14 de janeiro de 
1984?

<60>
 2. E no mundo, quais as temperaturas mximas e mnimas j 
registradas?

 _`[*{mapa-mndi* no adaptado seguido de legendas_`]
 Legenda 1: Browning -- A maior variao de temperatura
registrada em um dia ocorreu em
Browning, Montana (EUA), em 1916,
quando a temperatura variou de
7C a -49C.  
 Legenda 2: Alaziziyah -- No mundo, a temperatura mais alta
registrada foi cerca de 58C, em Alaziziyah, Lbia, em
15 de setembro de 1922.
 Legenda 3: Vostok -- A temperatura mais baixa
registrada no mundo
foi cerca de -89C em
Vostok, Antrtida, em 24 de
agosto de 1960.

 Fonte: *Atlante Geogrfico 
  Metodico De Agostini*.
  Novara: Instituto Geografico De Agostini, 2007.

 a) Onde ocorreu a menor temperatura mundial registrada? Que temperatura foi essa? Compare
essa informao com a temperatura mnima registrada no Brasil, encontrando a diferena
entre essas temperaturas.
 b) Determine de quanto foi a queda de temperatura ocorrida em Browning, em 1916.
 c) Qual  a diferena entre a temperatura mais alta e a mais baixa j registradas no mundo?
 d) Destaque todas as temperaturas negativas que aparecem no texto das atividades 1 e 2 e
registre-as no caderno, em ordem crescente.

 Fontes para as atividades 1 e 2: ~,www.brcactaceae.org~, 
  ~,www.canalkids.com.br~,
  ~,www.inmet.gov.br~,
  Acesso em: 18 nov. 2008
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<61>
<p>
 10 -- Adio algbrica

  Vamos considerar:

<R+>
 o a adio em _z: `(-7`)+`(+4`)=-3 
 o a subtrao em _z: `(-7`)-`(+4`)=
  =`(-7`)+`(-4`)=-11
<R->

  Como toda subtrao em _z pode ser transformada em adio, dizemos que 
a adio e a subtrao de nmeros inteiros podem ser consideradas uma nica operao, denominada
adio algbrica, cujo resultado  denominado soma algbrica.
  Expresses como estas, a seguir, so consideradas adies algbricas.

 8-10 
 -1-11 
 2+7-6 
 -13+2+6 
 -8+7+22-20

  Toda expresso numrica que contm somente as operaes
de adio e subtrao representa uma adio algbrica.

<R+>
 o Vamos calcular a adio algbrica -17+40+21-16-33.
<R->

 -17+40+21-16-33=
  =+61-66=
  =-5

  Os exemplos a seguir contm parnteses precedidos do sinal +. Observe:
 o 10+`(-6`)=
  =10-6=
  =+4
 
 o -7+`(-5+4`)=
  =-7-5+4=
  =-12=4=-8

  Quando uma adio algbrica contm parnteses precedidos do sinal +, podemos eliminar
esses parnteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo cada nmero 
<p>
que est no interior dos parnteses com o seu prprio sinal.

  Os exemplos a seguir contm parnteses precedidos do sinal -. 
Observe:
 o 10-`(-6`)=
  =10+`(+6`)=
  =10+6=
  =+16

 o -7-`(-5+4`)=
  =-7+`(+5-4`)=
  =-7+5-4=
  =+5-11=
  =-6

 o 8-`(7+3-10`)=
  =8+`(-7-3+10`)=
  =8-7-3+10=
  =+18-10=
  =+8

  Quando uma adio algbrica contm parnteses precedidos do sinal -, 
podemos eliminar esses parnteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo cada nmero que est no interior dos
parnteses com o sinal trocado.

<62>
  As mesmas regras valem para as adies algbricas em que aparecem 
colchetes e
chaves, alm dos parnteses.
  Acompanhe:
<R+>
 1- Calcular a soma algbrica 20+`(-9+12`)-`(-15+20).
  Vamos fazer esse clculo de dois modos diferentes:

 1 modo:
 :> eliminamos os parnteses

 20+`(-9+12`)-`(-15+20`)=
  =20-9+12+15-20= 
  =+47-29=+18

 2 modo:
 :> efetuamos as operaes no interior dos parnteses
 :> eliminamos os parnteses

<p>
 20+`(-9+12`)-`(-15+20`)=
  =20+`(+3`)-`(+5`)= 
  =20+3-5=
  =+23-5=+18

 2- Calcular a soma algbrica 2-~l-11+`[17-`(-12+10`)-3`]_,.
Vamos fazer esse clculo de dois modos diferentes:

 1 modo:
 :> eliminamos os parnteses
 :> eliminamos os colchetes
 :> eliminamos as chaves

 2-~l-11+`[17-`(-12+10`)-3`]~l=
  =2-~l-11+`[17+12-10-3`]_,= 
  =2-~l-11+17+12-10-3_,= 
  =2+11-17-12+10+3= 
  =+26-29=-3

 2 modo:
 :> efetuamos as operaes no interior dos parnteses
 :> efetuamos as operaes no interior dos colchetes
 :> efetuamos as operaes no interior das chaves 
<L>
 2-~l-11+`[17-`(-12+10`)-3`]_,=
  =2-~l-11+`[17-`(-2`)-3`]_,= 
  =2-~l-11+`[17+2-3`]_,=
  =2-~l-11+`[+16`]_,=
  =2-~l-11+16_,=
  =2-~l+5_,= 
  =2-5=-3

 Exerccios

 1. Escreva no caderno cada uma das expresses seguintes eliminando os parnteses:
 a) -`(+9`) 
 b) -`(-11`) 
 c) +`(-13`) 
 d) +`(+21`)  
 e) 3-`(-2`) 
 f) -`(-1+10`) 
 g) 7+`(6-3`) 
 h) 1-`(-1+5`) 
 i) 9+`(-4-2`)
 j) -`(1+1-4`)

 2. Calcule:
 a) -7+`(+13`) 
 b) 10-`(-20`) 
 c) -11-`(-6)
 d) 32+`(-40`)

<63>
 3. Lucca mora em uma regio fria da Amrica
do Sul, onde h grandes variaes de temperatura
em um nico dia. Lucca anotou as temperaturas
que os termmetros registraram no
perodo das 8 horas s 12 horas de ontem.

 !::::::::::::::::
 l 8 h  _ -14C _
 r:::::::w:::::::::w
 l 9 h  _   ...   _
 r:::::::w:::::::::w
 l 10 h _ -10C _
 r:::::::w:::::::::w
 l 11 h _   ...   _
 r:::::::w:::::::::w
 l 12 h _ -8C  _
 h:::::::j:::::::::j

 Mas, por descuido, borrou os registros das temperaturas
das 9 horas e das 11 horas.
Para completar as anotaes, Lucca considerou
cada um deles como sendo a mdia dos valores
vizinhos, isto , a metade da soma desses
valores.
 Qual foi, ento, a temperatura registrada ontem
nessa regio:
 a) s 9 horas? 
 b) s 11 horas?

 4. Calcule as seguintes somas algbricas:
 a) 6=`(-9+1`)
 b) 8-`(-6+10`)
 c) -10+`(6-4`)
 d) 2+`(2+5-7`)
 e) -5+`(2-4`)-`(7-1`)
 f) `(-5+3`)-`(5-9`)+`(8-1`)-11

 5. So dados os nmeros:

 x=1-`[4+`(4-2-5`)-`(-7+3`)`] e
 y=2-`[7-`(-1-3+6`)-8`].

 Use o smbolo =, > ou < e compare os nmeros
x e y.

<p>
 6. Eliminando os parnteses e colchetes, determine
o valor de:
 a) 30+`[-16-`(-7+10`)`]
 b) -10-`[11+`(-10-6`)+1`]
 c) 18-`(14+15`)-`[13-`(16-21`)`]
 d) -`(-22`)-`[29+`(27-23-26`)-
  -28`]
 e) 9-`(-10`)`[-21-`(-13-13+
  +25`)`]-`(-18`)
 f) 11+`[-17-`(-22+16`)+`(-29`)`]-
  -`(-46+54`)

 7. Joo adora jogar figurinhas. Em cada rodada
desta semana, ele registrou, com um nmero
positivo, quantas figurinhas ganhou e, com
um nmero negativo, quantas perdeu. Domingo,
Joo foi passear e no jogou.

 2 feira: -17+43+14+23-45
 3 feira: 24-7-8-10-4+31-19
 4 feira: 19-21+36-100-35+100
 5 feira: -23+24-25+26-27+28
<p>
 6 feira: 210+60-126+63-208+117
 sbado: -99+85-121-310+420+
  +115

 a) Em qual dia Joo ganhou mais figurinhas?
 b) Em qual dia Joo se saiu pior?
 c) Nessa semana, Joo aumentou ou diminuiu a
quantidade de figurinhas que tinha? Quanto?
<R->

 Desafio!

  O passatempo preferido do
Sr. Augusto de Oliveira
 construir delicados
mbiles. Veja o
ltimo que ele fez _`[no adaptado_`]:

  Mbile  uma escultura mvel, feita de material
leve, suspensa no espao por fios, que se equilibra
harmoniosamente. Ao mais leve movimento do ar, as
pequenas peas respondem, mudando de posio.

  Convide um amigo e reproduzam o mbile no
caderno. Em seguida, coloquem em cada bolinha
um nmero inteiro entre -6 e +7, de modo
que a soma dos nmeros da parte esquerda
seja igual  soma dos nmeros da parte direita
do mbile.

               ::::::::::::::::::::::::

<64>
 11 -- Multiplicao de nmeros 
  inteiros

 Multiplicando com nmeros 
  inteiros

  Para multiplicar nmeros inteiros, devemos observar os casos a 
seguir:

<R+>
 1 caso: Os dois fatores so nmeros inteiros positivos.
  Considerando a multiplicao dos nmeros naturais, temos:

 o `(+6`)`(+4`)=64=24 ou +24
 `(+6`) :> +6=6
 `(+4`) :> +4=4
<L>
 o `(+8`)`(+15`)=815=120 ou +120
 `(+8`) :> +8=8
 `(+15`) :> +15=15
<R->

  Apesar de a ideia de nmero negativo ser
largamente utilizada desde o sculo XVII, ela s
foi plenamente aceita a partir do sculo XIX.
  A multiplicao com nmeros negativos foi
mais difcil de ser aceita e compreendida na
poca, e demorou um longo tempo para que os
matemticos pudessem dar um resultado para a
multiplicao de dois nmeros negativos.

  A multiplicao de dois nmeros inteiros positivos d um nmero 
inteiro positivo.

<R+>
 2 caso: Um fator  nmero inteiro positivo e o outro  nmero inteiro negativo.

<p>
 o  `(+6`)`(-4`)=6`(-4`)=`(-4`)+
  +`(-4`)+`(-4)`+`(-4`)+`(-4`)+`(-4`)=
  =-24
  `(+6`)`(-4`)=-24

 Consideremos, agora, a multiplicao:

 o `(-6`)`(+4`)=-`(+6`)`(+4`)=
  =-`(+24`)=-24 

 Ento: `(+6`)`(-4`)=-24 e `(-6)`(+4`)=-24
<R->

  A multiplicao de um nmero inteiro positivo por um nmero inteiro 
negativo, em qualquer ordem, resulta em um nmero inteiro negativo.

<R+>
 3 caso: Os dois fatores so nmeros inteiros negativos.
  Consideremos a tabela de multiplicao:
<R->
 
<p>
 _`[{tabela adaptada_`]
 !::::::::::
 l    _ -6 _
 r:::::w:::::w
 l -4 _ ... _
 r:::::w:::::w
 l -3 _ ... _
 r:::::w:::::w
 l -2 _ ... _
 r:::::w:::::w
 l -1 _ ... _
 r:::::w:::::w
 l 0  _ ... _
 r:::::w:::::w
 l +1 _ ... _
 r:::::w:::::w
 l +2 _ ... _
 h:::::j:::::j

<65>
  Sabemos que:

 `(-6`)0=0 
 `(-6`)`(+1`)=-6 
 `(-6`)`(+2`)=-12

  Colocando esses resultados na tabela, temos:

 !:::::::::::
 l    _ -6  _
 r:::::w::::::w
 l -4 _ ...  _
 r:::::w::::::w
 l -3 _ ...  _
 r:::::w::::::w
 l -2 _ ...  _
 r:::::w::::::w
 l -1 _ ...  _
 r:::::w::::::w
 l 0  _ 0   _
 r:::::w::::::w
 l +1 _ -6  _
 r:::::w::::::w
 l +2 _ -12 _
 h:::::j::::::j

  Observando a linha dos resultados, notamos que cada resultado tem 
seis unidades a mais que o nmero  sua direita.
  Aplicando esse fato, preenchemos o restante da tabela:

<p>
 !:::::::::::
 l    _ -6  _
 r:::::w::::::w
 l -4 _ +24 _
 r:::::w::::::w
 l -3 _ +18 _
 r:::::w::::::w
 l -2 _ +12 _
 r:::::w::::::w
 l -1 _ +6  _
 r:::::w::::::w
 l 0  _ 0   _
 r:::::w::::::w
 l +1 _ -6  _
 r:::::w::::::w
 l +2 _ -12 _
 h:::::j::::::j

  A multiplicao de dois nmeros inteiros negativos resulta em um 
nmero inteiro positivo.

 Observao:
  Usando o oposto de um nmero inteiro, podemos chegar ao mesmo resultado. Veja os
exemplos:

<R+>
 o `(-6`)`(-2`)=-`(+6`)`(-2`)=
  =-`(-12`)=+12
 o `(-6`)`(-4`)=-`(+6`)`(-4`)=
  =-`(-24`)=+24
<R->

  Para determinar o produto de dois nmeros inteiros (diferentes de 
zero), calculamos o produto dos mdulos dos fatores e:

  Se os dois fatores tiverem o mesmo sinal, o produto ser um nmero positivo.

 o `(+7`)`(+3`)=+21
 o `(-9`)`(-12`)=+108

  Se os dois fatores tiverem sinais diferentes, o produto ser um nmero negativo.

 o `(+9`)`(-2`)=-18
 o `(-13`)`(+6`)=-78

<66>
  Agora veja como multiplicar trs ou mais nmeros inteiros:

<p>
 o `(-7`)`(+2`)`(-5`)=`(-14`)
  `(-5`)=+70
 o `(+2`)`(-15`)`(-3`)`(-6`)=
  =`(-30`)`(+18`)=-540

 Propriedades da multiplicao

<R+>
 1 propriedade: O produto de dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro.
 o `(+7`)`(+9`)=+63, e +63,_z.
 o 0`(-41`)=0, e 0,_z.
 o `(-2`)`(+16`)=-32, e -32,_z.
 o `(-7`)`(-11`)=+77, e +77,_z.
<R->

  Essa  a propriedade
de fechamento.

<R+>
 2 propriedade: A ordem dos fatores no altera o produto.
 `(-9`)`(+12`)=-108 
 `(+12`)`(-9`)=-108
 :> `(-9`)`(+12`)=`(+12`)`(-9`)
<R->

  Essa  a propriedade
comutativa.

<R+>
 3 propriedade: Associando-se os fatores de maneiras diferentes, obtm-se o mesmo produto.
 `(-10`)`(+8`)`(+5`)=`(-80`)`(+5`)=
  =-400
 `(-10`)`(+8`)`(+5`)=`(-10`)`(+40`)=
  =-400
<R->

  Essa  a propriedade
associativa.

 Ento:

 `[`(-10`)`(+8`)`]`(+5`)=`(-10`)
  `[`(+8`)`(+5`)`]

<R+>
 4 propriedade: O nmero +1  o elemento neutro da multiplicao de nmeros inteiros.
 o `(+8`)`(+1`)=`(+1`)`(+8`)=+8
 o `(-10`)`(+1`)=`(+1`)`(-10`)=-10
<R->

  Essa  a propriedade de
existncia do elemento neutro.

<R+>
 5 propriedade: Para multiplicar um nmero inteiro por
uma soma algbrica, podemos multiplicar o nmero por
cada uma das parcelas e adicionar, a seguir, os resultados
obtidos.
 o `(+6`)`[`(+3`)+`(-5`)`]=`(+6`)
  `(+3`)+`(+6`)`(-5`)=`(+18`)+
  +`(-30`)=18-30=-12
 o `(-9`)`(-3+7`)=`(-9`)`(-3`)+
  +`(-9`)`(+7`)=`(+27`)+`(-63`)=
  =+27-63=-36
<R->

  Essa  a propriedade distributiva
em relao  adio algbrica.

<67>
 Exerccios

<R+>
 1. Calcule:
 a) `(+8`)`(-9`) 
 b) `(-6`)`(-5`) 
 c) `(+7`)`(+4`) 
 d) `(+9`)`(+7`) 
 e) `(-8`)`(+6`) 
 f) `(+5`)`(-11`) 
 g) 0`(+13`) 
 h) `(-6`)`(-18`)
 i) `(+3`)`(+21`)
 j) `(-8`)0
 k) `(-11`)`(-21`)
 l) `(-20`)`(+17`)
 m) `(+17`)`(+17`)
 n) `(-5`)`(-32`)

 2. A figura a seguir tem um "segredo". Descubra
qual  o segredo e d o nmero inteiro que
deve estar no quadrinho verde.

 Legenda:
 V -- quadrinho verde

<F->
            pccccc
            l V  _
         pcccccpccccc
         l ... l ... _
     pccccccpccccccpccccc
     l +15 l -10 l -8 _
   pcccccpcccccpcccccpccccc
   l -3 l -5 l +2 l -4 _
   h:::::h:::::h:::::h:::::j
<F+>

 3. Efetue as multiplicaes:
 a) `(-7`)`(+11`)`(-2`)
 b) `(-9`)`(-5`)`(-3`)
 c) `(-12`)`(-6`)`(+3`)
 d) `(-9`)`(-9`)`(-4`)`(-1`)
 e) `(-8`)`(+10`)`(+7`)`(+2`)
 f) `(-8`)`(+6`)0`(-11`)

 4. Justifique as igualdades:
 a) `(-7`)`[`(+6`)`(-5`)`]=
  =`[`(-7`)`(+6`)`]`(-5`)
 b) `(-9`)`(+5`)=`(+5`)`(-9`)

 5. Calcule o valor da expresso -7`(+6-8`)
de duas maneiras diferentes.
 6. Use a propriedade distributiva da multiplicao
para calcular -5`(-8+5`).

 7. Sem realizar a operao, determine o nmero
inteiro que ocupa o lugar de x para que se
tenha:
 a) x`(-16`)=-16
 b) x`(-5`)=`(-5`)`(+9`)
 c) x`(-8`)=0
 d) x`(+1`)=+11

<p>
 8. Que nmero inteiro se deve colocar no lugar
de x para que seja verdadeira a igualdade:
 a) x`(+2`)=-6?
 b) `(-5`)x=+50?
 c) x`(-5`)=-10?

 9. Duas peas de um jogo de tabuleiro tm a
forma de uma pirmide de base triangular. As
faces dessas peas so numeradas da seguinte
maneira: 
 o Na 1 pea: 1, -2, -3, 4.
 o Na 2 pea: -7, 8, 9, -10.

 Combina-se que, ao lan-los, a face sorteada
 a que fica escondida, virada para a mesa.
 Os dois dados so lanados, e os resultados esto
assinalados na tabela seguinte:

<p>
 _`[{tabela adaptada_`]
 Resultados dos lanamentos 

 Fileira 1
 Coluna -7 -- (1, -7)
 Coluna 8 -- (1, 8)
 Coluna 9 -- (1, 9)
 coluna -10 -- (1, -10)

 Fileira -2
 Coluna -7 -- `(-2, -7`)
 Coluna 8 -- `(-2, 8`)
 Coluna 9 -- `(-2, 9`)
 coluna -10 -- `(-2, -10`)

 Fileira -3
 Coluna -7 -- `(-3, -7`)
 Coluna 8 -- `(-3, 8`)
 Coluna 9 -- `(-3, 9`)
 coluna -10 -- `(-3, -10`)

 Fileira 4
 Coluna -7 -- (4, -7)
 Coluna 8 -- (4, 8)
 Coluna 9 -- (4, 9)
 coluna -10 -- (4, -10)
 _`[{fim da tabela_`]

 Em quantos quadrinhos dessa tabela o produto
dos nmeros obtidos  um nmero inteiro:
 a) positivo?
 b) negativo?
<R->

<68>
 Expresses numricas

  Maria, Mara e Miara participam de uma gincana. Elas devem obter o valor numrico da
expresso escrita no carto que cada uma sorteou. Veja como elas fizeram:

 _`[{maria sorteou_`]
 12-`(-3`)`(-5`)

 12-`(-3`)`(-5`)
 =12-`(+15`)=
 =12-15=
 =-3

<p>
 _`[{mara sorteou_`]
 20+3`(-4`)-2`(-5`)

 20+3`(-4`)-2`(-5`)=
 =20+`(-12`)-`(-10`)=
 =20-12+10=
 =30-12=
 =+18

 _`[{miara sorteu_`]
 5`(-3`)-`(-3`)`(+6`)

 5`(-3`)-`(-3`)`(+6`)=
 =`(-15`)-`(-18`)=
 =-15+18=
 =+3

  Observe que nas expresses numricas com nmeros inteiros tambm 
seguimos a
mesma ordem das operaes que valia para as expresses com nmeros 
naturais:
<R+>
 o primeiro resolvemos as multiplicaes.
 o em seguida, resolvemos a adio algbrica.

 Exerccios

 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes expresses numricas:
 a) 81+`(-20`)`(+4`) 
 b) `(-4`)`(-7`)-30 
 c) -23-`(-6`)`(+3`) 
 d) `(-9`)`(+6`)-`(+2`)`(-27`) 
 e) 19-`(-4`)`(+5`)
 f) 7`(-3`)-9`(-6`)+11`(-2)
 g) `(+5`)`(+11`)-37-`(-2`)`(+14`)
 h) 18-3`(-7`)+9`(-4`)-20

 2. Substitua cada letra pelo respectivo nmero para determinar o valor de:
 a) 2x+5y, quando x=+7 e y=-2. 
 b) xy+2x, quando x=-6 e y=-3. 
 c) 3a-7b, quando a=+8 e b=-7. 
 d) 2a+5b-10, quando a=+10 e b=-2.
 e) 3a-5b+4c, quando a=-1, b=-1 e c=-1.
 f) 10-a+ab-2b, quando a=-1 e b=+3.
<R->

<69>
 Desafios!

  Troque ideias com o colega para responder s questes seguintes.

<R+>
 1. O menino diz: "Encontrei seis
multiplicaes de dois
nmeros inteiros em
que o resultado d +20."

 Quais so essas multiplicaes?

 2. 
 a) A menina diz: "Diga quais os dois nmeros inteiros negativos, 
cuja soma  -5, e cujo produto  +6?"
 b) O menino diz: "E quais os dois nmeros inteiros, um positivo e 
outro negativo, cuja soma  +3, e o produto  -10?"

<p>
 Aprendendo a manipular a memria de uma calculadora
<R->

  Conhea o significado de mais algumas teclas de uma calculadora:

<R+>
 M{c -- Apaga o que est guardado na memria. (Memory clear.)
 M{r -- "Devolve" os valores acumulados na memria. (Memory recall.)
 M- -- Armazena o nmero do visor para ser subtrado.
 M+ -- Armazena o nmero do visor para ser adicionado.
<R->

  Bete foi ao supermercado e levou 20 reais.
  Veja a lista de compras de 
 Bete:

<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l  produto   _ preo unitrio _
l            _ (em reais)   _
r::::::::::::j:::::::::::::::w
l 1 pacote de arroz  _ 7    _
l 1 pacote de feijo _ 2    _
l 2 kg de carne      _ 6    _
l 1 pacote de caf   _ 4    _
l 1 pacote de acar _ 1    _
h:::::::::::::::::::::j:::::::j
<F+>

<70>
  Bete precisa saber se o dinheiro que levou  suficiente para pagar a 
despesa.
  Na calculadora de Bete os clculos ficaram assim:

 Tecla -- Visor
 2 -- 2.
 0 -- 20.
 M+ -- M 20.
 7 -- M 7.
 + -- M 7.
 2 -- M 2.
 = -- M 9.
 M- -- M 9.
 6 -- M 6.
  -- M 6.
 2 -- M 2.
 + -- M 12.
 4 -- M 4.
 + -- M 16.
 1 -- M 1.
 = -- M 17.
 M- -- M 17.
 M{r -- -M 6.

  No visor, -M 6 _`[letra sublinhada no sistema comum de escrita_`] significa -6. 
Logo, faltaro R$6,00 para Bete pagar a sua compra.

 Chegou a sua vez!

  Beto levou 50 reais para comprar o material escolar da sua lista de 
materiais.
  Beto conseguir comprar tudo o que precisa? Para saber, use a calculadora e os recursos que voc
acabou de aprender.

<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l  produto   _ preo unitrio _
l            _ (em reais)   _
r::::::::::::j:::::::::::::::w
l 1 rgua de 30 cm  _ 2    _
l 5 cadernos         _ 6    _
l 1 caixa de lpis   _       _ 
l  de cor             _ 5    _
l 1 pacote de papel  _       _
l  sulfite            _ 7    _
l 4 canetas esfero-  _       _
l  grfica            _ 1    _
h:::::::::::::::::::::j:::::::j
<F+>

<71>
 O jogo dos produtos

  Voc e dois colegas vo se divertir com o "jogo dos produtos".
  Primeiro, vocs devem reproduzir duas vezes cada um destes dados e, 
depois, mont-los.

<p>
<F->
      !:::::
      l     _
      l +3 _
      l     _
!:::::r:::::w::::::::::
l     l     _     _     _
l +1 l +2 _ +6 _ +5 _
l     l     _     _     _
h:::::r:::::w:::::j:::::j
      l     _
      l +4 _
      l     _
      h:::::j

            !:::::
            l     _
            l -3 _
            l     _
!::::::::::r:::::w:::::
l     _     l     _     _
l -1 _ -2 l -6 _ -5 _
l     _     l     _     _
h:::::j:::::r:::::j:::::j
            l     _
            l -4 _
            l     _
            h:::::j
<F+>

  Agora, reproduzam os tabuleiros I, II e III em papel quadriculado, sem pint-los.

<R+>
 _`[{trs tabuleiros adaptados com o "O jogo dos produtos"_`]
<R->

Tabuleiro I

<F->
   +1 +2  +3  +4  +5  +6 
+1 +1 +2  +3  +4  +5  +6 
+2 +2 +4  +6  +8  +10 +12
+3 +3 +6  +9  +12 +15 +18
+4 +4 +8  +12 +16 +20 +24
+5 +5 +10 +15 +20 +25 +30
+6 +6 +12 +18 +24 +30 +36

Tabuleiro II

   -1 -2  -3  -4  -5  -6 
+1 -1 -2  -3  -4  -5  -6 
+2 -2 -4  -6  -8  -10 -12
+3 -3 -6  -9  -12 -15 -18
+4 -4 -8  -12 -16 -20 -24
+5 -5 -10 -15 -20 -25 -30
+6 -6 -12 -18 -24 -30 -36

<p>
Tabuleiro III

   -1 -2  -3  -4  -5  -6 
-1 +1 +2  +3  +4  +5  +6 
-2 +2 +4  +6  +8  +10 +12
-3 +3 +6  +9  +12 +15 +18
-4 +4 +8  +12 +16 +20 +24
-5 +5 +10 +15 +20 +25 +30
-6 +6 +12 +18 +24 +30 +36
<F+>

 Regras do jogo:

<R+>
 1. Os jogadores tiram no par-ou-mpar para ver quem primeiro
vai escolher o tabuleiro.

 2. Os jogadores escolhem uma cor diferente de lpis e dois
dados:
 o para o tabuleiro I, use os dados com nmeros positivos.
 o para o tabuleiro II, use um dado com nmeros positivos
e outro com nmeros negativos.
 o para o tabuleiro III, use os dados com nmeros negativos.

<p>
 3. Cada jogador, na sua vez, joga os dados, calcula o produto
dos nmeros das faces superiores e pinta o quadriculado
do tabuleiro que tem o nmero obtido.
 4. Ganha o jogo aquele que conseguir pintar primeiro uma
linha, uma coluna ou uma diagonal.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<72>
 12 -- Diviso de nmeros 
  inteiros

  Na diviso exata de nmeros naturais, temos:
 o 405=8, pois 58=40. 
 o 369=4, pois 94=36.

  Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a diviso exata de nmeros inteiros.
  Veja os clculos:

<R+>
 o `(+20`)`(+5`)
  `(+20`)`(+5`)=q, de modo que `(+5)q=`(+20`).
  Assim, q=`(+4`).
  Logo, `(+20`)`(+5`)=+4.

 o `(+20`)`(-5`)
  `(+20`)`(-5`)=q, de modo que `(-5`)q=`(+20`).
  Assim, q=`(-4`).
  Logo, `(+20`)`(-5`)=-4.

 o `(-20`)`(+5`)
  `(-20`)`(+5`)=q, de modo que `(+5`)q=`(-20`).
  Assim, q=`(-4`).
  Logo, `(-20`)`(+5`)=-4.

 o `(-20`)`(-5`)
  `(-20`)`(-5`)=q, de modo que `(-5`)q=`(-20`).
  Assim, q=`(+4`).
  Logo, `(-20`)`(-5`)=+4.
<R->

  De modo geral, para efetuar a diviso exata de um nmero inteiro por outro nmero inteiro, diferen-
<p>
 te de zero, dividimos o mdulo do dividendo pelo mdulo do divisor.

<R+>
 o Quando o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o quociente ser um nmero inteiro positivo.
 o Quando o dividendo e o divisor tiverem sinais diferentes, o 
quociente ser um nmero inteiro negativo.

 Observaes:
 o A diviso nem sempre pode ser realizada no conjunto _z.
  Por exemplo, `(+9`)`(-2) ou `(-20`)`(-7`) so divises que no podem ser realizadas em
_z, pois o resultado no  um nmero inteiro.
 o No conjunto _z, a diviso no  comutativa, no  associativa e 
no tem a propriedade da existncia do elemento neutro.
<R->

<73>
<p>
 Exerccios

<R+>
 1. Para organizar o estudo de diviso de nmeros
inteiros, 
  Anita tem de responder s perguntas
a seguir. Responda voc tambm:
 a) A diviso exata de um nmero inteiro positivo
por um nmero inteiro negativo d
um nmero inteiro positivo ou negativo?
 b) Quanto d a diviso de zero por um nmero
inteiro negativo?
 c) Numa diviso exata de nmeros inteiros,
os dois nmeros possuem o mesmo sinal.
Essa diviso d como resultado um nmero
inteiro positivo ou negativo?
 d) Quanto d a diviso de zero por um nmero
inteiro positivo?

 2. Entre as divises a seguir, quais podem ser
efetuadas no conjunto _z? Responda no caderno.
 a) `(+9`)`(-9`) 
 b) `(-2`)`(+1`) 
 c) `(-3`)`(-2`) 
 d) `(+11`)`(+5`) 
 e) 0`(+5`)
 f) `(+7`)0

 3. Qual o valor de x na diviso x`(-8`)=+2?
 4. Sabendo-se
que y=0 e xy=-1, voc
pode dizer que x e y so nmeros inteiros opostos?
Por qu?
 5. Mostre que: `(-20+45`)`(-5`)=
  =`(-20`)`(-5`)+`(+45`)`(-5`)
 6. Mostre que: `[`(-16`)`(-4`)`]
  `(-4`)=`(-16`)`[`(-4`)`(-4`)`]

 7. Efetue as divises.
 a) `(-9`)`(+3`) 
 b) `(-11`)`(-11`) 
 c) `(+21`)`(+7`) 
 d) `(+36`)`(-4`) 
 e) 0`(+20`)
 f) `(-31`)`(+31`) 
 g) `(+45`)`(-3`) 
 h) `(+52`)`(+2`) 
 i) `(-65`)`(-5`)
 j) `(-90`)`(+6`)
 k) `(+64`)`(+16`)
 l) `(-39`)`(-13`)
 m) `(+96`)`(-24`)
 n) `(-200`)`(+25`)
 o) `(+63`)`(+21`)
 p) `(+81`)`(-27`)

 8. No quadro, h algumas divises:

 _`[{quadro adaptado_`]
 `(-120`)`(-10`)
 `(+96`)`(-16`)
 `(+150`)`(+15`)
 `(-60`)`(+12`)
 `(+48`)`(+24`)
 `(-200`)`(-50`)
 `(+80`)`(-8`)
 `(-121`)`(+11`)

 Quanto d a soma dos resultados dessas divises?
<R->

<p>
 Expresses numricas

  Observe os exemplos a seguir, em que trabalhamos com expresses 
numricas.

<R+>
 1- Qual o valor da expresso numrica 10-`(-8`)`(+4`)?

 :> efetuamos a diviso
 :> eliminamos os parnteses

 10-`(-8`)`(+4`)=
  =10-`(-2`)= 
  =10+2= 
  =+2

 2- Calcular o valor da expresso numrica 5+12`(-2`)-3`(-1`).

 :> efetuamos a diviso e a multiplicao
 :> eliminamos os parnteses

<p>
 5+12`(-2`)-3`(-1`)=
  =5+`(-6`)-`(-3`)= 
  =5-6+3= 
  =+2
<R->

<74>
 Exerccio

  Qual  o valor de cada expresso numrica?
 a) 31+`(-40`)`(+2`) 
 b) -10-20`(+4`) 
 c) `(+30`)`(-6`)+`(-18`)`(+3`) 
 d) 7`(-7`)+2`(-6`)+11
 e) `(-36`)`(-4`)+3`(-3`)
 f) 35-6`(+6`)+`(+54`)`(-6`)
 g) 2+`(-75`)`(-5`)-4`(-1`)

               ::::::::::::::::::::::::

 13 -- Potenciao de nmeros 
  inteiros

 Explorando

  J definimos para os nmeros naturais que:

<p>
 an=aaaa...a, com a,_n e 
  n>1

 aaaa...a :> n fatores
 
  A mesma definio ser usada para os nmeros inteiros, ou seja:
  Dados dois nmeros inteiros *a* e *n*, com n>1, a expresso an representa um produto de *n*
fatores iguais a *a*.

 an=aaa...a

 a :> base
 n :> expoente
 aaa...a :> n fatores

 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Usando essa definio, calcule:
 a) `(+1`)2 
 b) `(-1`)2 
 c) `(+1`)4 
 d) `(-1`)4 
 e) `(+1`)6 
 f) `(-1`)6 
 g) `(+1`)3 
 h) `(-1`)3 
 i) `(+1`)5 
 j) `(-1`)5
 k) `(+1`)7
 l) `(-1`)7

 2. O que voc pode notar nos casos em que:
 a) o expoente  um nmero par?
 b) o expoente  um nmero mpar?

<75>
 Consideraes a respeito da 
  potenciao de nmeros inteiros
<R->

  Quando tratamos da potenciao de nmeros inteiros, sendo a base um nmero inteiro
positivo ou negativo, temos dois casos a considerar.

<R+>
 1 caso: O expoente  um nmero par.

 o `(+2`)2=`(+2`)`(+2`)=+4
 +4 :> a potncia  um nmero positivo  
<L>
 o `(-2`)2=`(-2`)`(-2`)=+4
 +4 :> a potncia  um nmero positivo

 o `(+2`)4=`(+2`)`(+2`)`(+2`)
  `(+2`)=+16
 +16 :> a potncia  um nmero positivo

 o `(-2`)4=`(-2`)`(-2`)`(-2`)
  `(-2`)=+16
 +16 :> a potncia  um nmero positivo
<R->

  Esse fato se repete sempre que o expoente  um nmero par.

  Quando o expoente for um nmero par, a potncia ser sempre um nmero inteiro positivo.

 o `(+12`)2=+144 
 o `(-10`)4=+10.000

<p>
<R+>
 2 caso: O expoente  um nmero mpar.
 
 o `(+2`)3=`(+2`)`(+2`)`(+2`)=+8
 +8 :> a potncia tem o mesmo sinal da base

 o `(-2`)3=`(-2`)`(-2`)`(-2`)=-8
 -8 :> a potncia tem o mesmo sinal da base

 o `(+2`)5=`(+2`)`(+2`)`(+2`)
  `(+2`)`(+2`)=+32
 +32 :> a potncia tem o mesmo sinal da base

 o `(-2`)5=`(-2`)`(-2`)`(-2`)
  `(-2`)`(-2`)=-32
 -32 :> a potncia tem o mesmo sinal da base
<R->

  Esse fato se repete sempre que o expoente  um nmero mpar.

  Quando o expoente for um nmero mpar, a potncia ter sempre o 
mesmo sinal da base.

 o `(+7`)3=+343 
 o `(-2`)7=-128

<76>
   importante observar que:

  Para todo nmero inteiro *a*, definimos a1=a.

 o `(+9`)1=+9
 o `(-8`)1=-8

  Para todo nmero inteiro *a*, com a=0, definimos a0=1.

 o `(+9`)0=1
 o `(-8`)0=1

 Propriedades da potenciao em _z

  Vejamos, a seguir, as propriedades da potenciao no conjunto _z:

<R+>
 1 propriedade: Produto de potncias de mesma base.

<p>
 o `(+5`)3`(+5`)6=
  =`(+5`)?3+6*=`(+5)9
 o `(-2`)4`(-2`)6`(-2`)5=
  =`(-2)?4+6+5*=`(-2`)15

 2 propriedade: Quociente de potncias de mesma base.

 o `(+6`)5`(+6`)2=
  =`(+6`)?5-2*=`(+6`)3
 o `(-10`)8`(-10`)3=
  =`(-10`)?8-3*=`(-10`)5

 3 propriedade: Potncia de uma potncia.

 o `[`(+10`)2`]5=`(+10`)?25*=
  =`(+10`)10
 o `[`(-8`)3`]2=`(-8`)?32*=
  =`(-8`)6

 4 propriedade: Potncia de um produto ou de um quociente.

 o `[`(+6`)`(-5`)`]2=`(+6`)2
  `(-5`)2
 o `[`(-10`)`(+2`)`]3=`(-10`)3
  `(+2`)3
<L>
 Observao:
  As expresses `(-2`)2 e -22 so diferentes.
 o `(-2`)2 representa o quadrado do nmero -2; assim, 
`(-2`)2=`(-2`)`(-2`)=+4.
 o -22 representa o oposto do quadrado do nmero 2; assim, 
-22=-`(22`)=-4.

 Exerccios

 1. Se o nmero x  inteiro negativo, o nmero x2 ser inteiro positivo ou negativo?
 2. Sabe-se
que o nmero *a*  inteiro negativo. O nmero expresso por a3 ser inteiro positivo ou
negativo?

<77>
 3. Encontre:
 a) o quadrado de -17.
 b) o cubo de +15.
 c) o quadrado de +40.
 d) o cubo de -30.
 e) a quarta potncia de -5.
<p>
 f) a quinta potncia de +3.
 g) a quarta potncia de +5.

 4. Calcule:
 a) `(+9`)2 
 b) `(-9`)2 
 c) `(+9`)3 
 d) `(-9`)3 
 e) `(+2`)5 
 f) `(-2`)5 
 g) `(-1`)10 
 h) `(-3`)4 
 i) `(-7`)3
 j) `(-100`)0
 k) `(-1`)101
 l) `(-25`)2
 m) `(+10`)6
 n) `(-1`)9
 o) `(-1`)200
 p) `(+1`)99

 5. Sabendo que a=`(-1`)100 e b=`(-1`)101, calcule
o valor de:
 a) a+b 
 b) a-b

<p>
 6. Reduza a uma s potncia:
 a) `(-8`)5`(-8`)`(-8`)4
 b) `[`(+2`)6`]2
 c) `(-10`)9`(-10`)6
 d) `(+9`)`(+9`)11`(+9`)8
 e) `(-13`)20`(-13`)14
 f) `[`(+7`)4`]3
 g) `(+10`)5`(+10`)`(+10`)8
 h) `(+20`)7`(+20`)6

 7. Aplicando as propriedades das potncias,
calcule o valor da expresso:
 a) `[`(-4`)7`(-4`)10`(-4`)`]
  `[`(-4`)8`]2
 b) `[`(-2`)6`]2`[`(-2`)6
  `(-2`)2`(-2`)`]

 Expresses numricas

  Observe os exemplos:

 1- Determinar o valor da expresso numrica `(-3`)2-`(-2`)3.

 :> efetuamos as potenciaes
 :> eliminamos os parnteses

 `(-3`)2-`(-2`)3=
  =`(+9`)-`(-8`)= 
  =+9+8= 
  =+17

 2- Calcular o valor da expresso numrica 3`(-2`)2+`(-36`)
  `(-3`)2.

 :> efetuamos as potenciaes
 :> efetuamos as multiplicaes e as divises
 :> eliminamos os parnteses

 3`(-2`)2+`(-36`)`(-3`)2=
  =3`(+4`)+`(-36`)`(+9`)= 
  =`(+12`)+`(-4`)= 
  =+12-4= 
  =+8

 Exerccios

 Calcule o valor das expresses numricas:
 a) `(-9`)2-`(+5`)`(+16`) 
 b) `(-2`)4`(+16`)`(-1`)7 
 c) `(-6`)2-`(-7`)2+130 
 d) 52-`(-3`)3+`(-4`)2 
 e) 4`(-5`)3+`(-20`)2
 f) 112-4`(-5`)2+100
 g) 17-3`(-2`)2-`(-6`)2
  `(-1`)7
 h) 7`(-2`)2-5`(-2`)3-102

               ::::::::::::::::::::::::

<78>
 14 -- Raiz quadrada exata de 
  nmeros inteiros

  Considere os exemplos:

 1- Quais os nmeros inteiros cujos quadrados so iguais a 16?

  Os nmeros so +4 ou -4, pois 
 `(+4`)2=+16
 `(-4`)2=+16.

 2- Quais os nmeros inteiros cujos quadrados so iguais a 81?

  Os nmeros so +9 ou -9, pois
 `(+9`)2=+81
 `(-9`)2=+81.
<R->

  Raiz quadrada exata de um nmero inteiro  tambm um nmero
inteiro que, elevado ao quadrado, d o nmero inicial.

 _`[O menino diz_`]
  "Ento, podemos dizer
que a raiz quadrada
de 16  +4 ou -4."

 _`[A menina diz_`]
  "E a raiz
quadrada de
81  +9 ou -9."

  Como, em Matemtica, uma operao (como a raiz quadrada) no pode apresentar dois
resultados diferentes, fica definido que:
<R+>
 o A raiz quadrada de 16  o nmero positivo +4. Indica-se: 16=+4.
 o A raiz quadrada de 81  o nmero positivo +9. Indica-se: 81=+9.
<R->

   claro que existe o oposto do nmero 16, que  -16.
  Ento: -16=-`(+4`)=-4.
  O mesmo ocorre com o nmero 81, cujo oposto  -81.
  Ento: -81=-`(+9`)=-9.

<79>
  No entanto, nem sempre  possvel determinar a raiz quadrada em _z. Veja os exemplos:

<R+>
 1- Que nmero inteiro representa a raiz quadrada de 20?

 Observamos que o nmero inteiro 20 no  quadrado de nenhum nmero inteiro,
pois 42=16 e 52=25.
 Como no h nenhum nmero inteiro entre 4 e 5, podemos concluir que no  possvel
obter 20 no conjunto _z.

 2- Que nmero inteiro elevado ao quadrado d -25?

 Sabemos que o quadrado de um nmero inteiro nunca  negativo. Portanto, os nmeros
negativos no podem representar quadrados de nenhum nmero inteiro.
 Isso significa que os nmeros inteiros negativos no tm raiz 
quadrada em _z, ou seja, -25 no existe no conjunto _z.
 
 Exerccios

 1. Qual  o nmero inteiro, se existir, que representa
a raiz quadrada de:
 a) 25? 
 b) 64? 
 c) -81?
 d) 1?

 2. Entre os nmeros a seguir, quais no so
nmeros inteiros? Responda no caderno.
 9 
 25 
 37 
 64 
 80

 3. Determine o valor de:
 a) 36 
 b) -64 
 c) 100
 d) -49

 4. Calcule:
 a) 400 
 b) -900 
 c) -2.500
 d) 144
 
 5. O nmero *p* representa o valor da expresso
1-`(-100`). Qual  o nmero *p*?
 6. Se x=81`(42-52`), qual  o valor de x?
 7. Existe algum nmero inteiro que represente
-25? Justifique.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 15 -- Expresses numricas

  J vimos algumas expresses numricas com nmeros inteiros. Veremos, agora, expresses
com todas as operaes estudadas.
  Convm lembrar que as operaes devem ser efetuadas na seguinte ordem:

<R+>
 o primeiro as razes e as potenciaes;
 o depois, as divises e as multiplicaes;
 o por ltimo, a adio algbrica.
<R->

  Alm disso, devemos respeitar a eliminao dos sinais de associao 
(parnteses, colchetes e chaves), comeando sempre pelo mais interno.

<80>
  Vamos calcular o valor da expresso numrica:

<R+>
 `(-5+2`)2`(-9`)-`[4`(-4-2`)-
  -`(-1`)3`(-5+8`)`]

 :> calculamos o interior dos parnteses
 :> efetuamos as razes e as potenciaes
 :> efetuamos as divises e as multiplicaes
 :> eliminamos os parnteses
<p>
 :> calculamos o interior dos colchetes
 :> eliminamos os colchetes

 `(-5+2`)2`(-9`)-`[4`(-4-2`)-
  -`(-1`)3`(-5+8`)`]=
 =`(-3`)2`(-9`)-`[4`(-6`)-
  -`(-1`)3`(+3`)`]= 
 =`(+9)`(-9`)-`[2`(-6`)-`(-1`)
  `(+3`)`]= 
 =`(-1`)-`[`(-12`)-`(-3`)`]= 
 =-1-`[-12+3`]= 
 =-1-`[-9`]= 
 =-1+9= 
 =+8
<R->

 Exerccios

  Calcule o valor de cada expresso numrica:
<R+>
 a) `(-7-4`)`(-9+2`)-`(-72+2`)
  `(-5-5`)+`(-9-4+6`)
 b) `(-9-3`)`(-1+7`)-`[10-
  -`(-4-3`)`(-5+4`)+`(-36`)
  `(-1-3`)`]
 c) `(-1-4`)`(-10+16`)-`[`(-8`)
  `(+2`)-7-`(-1`)`(+5`)`]
<p>
 d) `(-50`)`(-5-5`)-`[20`(-42`)
  `(+7`)-`(-35`)`(-1-16`)`]
 e) `(-6`)2`(-12`)-`(-3`)3+
  +`(-2`)5`(-4`)2-50
 f) `(-2-3`)2`(-25`)+`[30-
  -`(-10+36`)2`(-2`)3-52`]
<R->

 Tratando a informao

 Analisando grficos com nmeros 
  negativos 

 wr Cincias

  Hoje em dia muito se fala sobre a importncia de se ter uma alimentao saudvel e equilibrada;
avana-se nas melhorias sanitrias das cidades e, na rea da medicina, h cada vez mais recursos
para diagnosticar e prevenir doenas.
  Qual a consequncia de um modo de vida saudvel, do bem-estar e da medicina preventiva?
  Observe a tabela a seguir, que mostra quantos anos a menos uma 
pessoa pode aparentar com um estilo de vida saudvel.
<L>
 _`[{tabela adaptada em 6 colunas_`]
 A idade biolgica menor que a 
  idade cronolgica

 Idade cronolgica: Homem
 30 anos: -5 anos
 40 anos: -12 anos
 50 anos: -15 anos
 60 anos: -21 anos
 70 anos: -27 anos

 Idade cronolgica: Mulher
 30 anos: -6 anos
 40 anos: -13 anos
 50 anos: -16 anos
 60 anos: -23 anos
 70 anos: -29 anos

<R+>
 NEIVA, Paula. As idades do corpo. *Veja*. So Paulo: Abril, 
ano 39, n. 20. 24 maio 2006.
<R->

  Para melhor visualizar os dados dessa tabela, podemos montar um grfico de mltiplas colunas.

<81>
  Esse tipo de grfico permite comparar informaes
para cada dado indicado. Por exemplo,
para a idade cronolgica 40 anos, o homem pode
abater 12 anos de sua aparncia (-12 anos) e a
mulher, 13 anos (-13 anos). A legenda indica as
colunas que se referem ao homem e  mulher.
  Tambm podemos comparar mais de duas
informaes para cada dado, por isso, esse tipo
de grfico  chamado de grfico de mltiplas
colunas (ou barras).

<p>
<R+>
_`[{grfico adaptado: "A Idade Biolgica menor que a Idade Cronolgica" de 0 a -35_`]
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l          _ homem _  mulher  _  
r::::::::::w:::::::w::::::::::w
l 30 anos _ -5   _ -6      _
r::::::::::w:::::::w::::::::::w
l 40 anos _ -12  _ -13     _
r::::::::::w:::::::w::::::::::w
l 50 anos _ -15  _ -16     _
r::::::::::w:::::::w::::::::::w
l 60 anos _ -21  _ -23     _
r::::::::::w:::::::w::::::::::w
l 70 anos _ -27  _ -29     _
h::::::::::j:::::::j::::::::::j
<F+>

  Grfico construdo com base nos dados da tabela da pgina 233.

<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. De acordo com o texto, a tabela e o grfico, responda s questes:
 a) Quem se beneficia mais com o estilo de vida saudvel: o homem ou a mulher? Por qu?
 b) Um homem de 50 anos que leva um estilo de vida saudvel, at que idade ele pode aparentar?
 c) Faa um grfico de linhas correspondente ao grfico de mltiplas colunas apresentado. Voc
pode usar cores diferentes para indicar os dados para o homem e para a mulher. No se esquea da
legenda!
<R->

  Veja agora outras situaes em que utilizamos grficos com nmeros negativos.

<R+>
 2. O grfico a seguir mostra os lucros ou prejuzos, em cada ms do ano de 2010, da fbrica de
brinquedos do Sr. Reinaldo.

 _`[{grfico: "Resultados de 2010", adaptado_`]
 Lucro (em milhares de reais)
 janeiro: de 0 at -20
 fevereiro: de 0 at -10
 maro: de 0 at -5
 abril: --
 maio: de 0 at 10
 junho: --
 julho: de 0 at 15
 agosto: de 0 at 26
 setembro: de 0 at 32
 outubro: de 0 at 15
 novembro: de 0 at 50
 dezembro: de 0 at 30 
 _`[{fim do grfico_`]

 De acordo com esse grfico, responda:
 a) Em quais meses a fbrica teve lucro? E prejuzo?
 b) Em qual ms o lucro foi maior?
 c) Quais meses apresentaram lucro zero?
<p>
 d) A soma dos valores absolutos correspondentes aos meses de lucro  maior que a dos prejuzos?
Quanto?

<82>
 3. Observe o grfico com a temperatura mdia anual em uma cidade.

 _`[{grfico *Temperatura mdia anual*, no adaptado_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 a) Quais grandezas esto representadas nos eixos horizontal e vertical?

 b) Em qual ms a temperatura mdia : 
 o maior? 
 o menor?

 c) A temperatura mdia de dezembro  maior ou menor que a de 
fevereiro?
<L>
 d) Em quanto variou a temperatura: 
 o de abril para maio? 
 o de dezembro para janeiro?

 e) Qual  a mdia de temperatura: 
 o no 1 semestre? 
 o no 2 semestre?

 Retomando o que aprendeu

  Responda no caderno:
 1. Calcule a diferena entre os nmeros inteiros
`(-3`) e `(-1`). O simtrico do nmero obtido :
 a) -2 
 b) +2 
 c) -4 
 d) +4 
 e) -1

 2. Um termmetro marcava +4C pela manh.
 tarde, a temperatura chegou a -2C.
  A temperatura baixou nesse perodo:
 a) 2C 
 b) 8C 
 c) 6C 
 d) 5C 
 e) 4C

 3. Quando voc calcula a soma entre o quadrado
do nmero -1 e o cubo do nmero -1,
voc obtm:
 a) 0 
 b) -1 
 c) +1 
 d) -2 
 e) +2

 4. Dados os nmeros inteiros -12, -10, -7,
-2, 0, 1, 3, 7, 10, quantos deles so menores que
o nmero inteiro -4?
 a) 7 
 b) 6 
 c) 5 
 d) 4 
 e) 3

<p>
 5. Entre as potncias `(+3`)5, `(-7`)2, -42, `(-2`)3 e
`(-1`)10, quantas representam nmeros inteiros
negativos?
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5

 6. Quantas das sentenas a seguir so verdadeiras?
 I`) -24=`(-2`)4 
 II`) -20=`(-2`)0 
 III`) -23=`(-2`)3
 IV`) `(+2`)6=`(-2`)6

 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) 4

<83>
<p>
 7. Na reunio de condomnio do edifcio Vila
Nova, o sndico apresentou o saldo das contas
do prdio nos primeiros seis meses do ano, conforme
o quadro:

_`[{quadro_`]
 Saldo -- Edifcio Vila Nova
 Janeiro :::::::::::: crdito de 
  R$2.400,00
 Fevereiro::::::::::: crdito de 
  R$850,00
 Maro :::::::::::::: dbito de 
  R$680,00
 Abril :::::::::::::: crdito de 
  R$450,00
 Maio ::::::::::::::: dbito de 
  R$1.720,00
 Junho :::::::::::::: dbito de 
  R$750,00
 _`[{fim do quadro_`]

 Aps esses primeiros seis meses, o condomnio
ficou com:
 a) dbito de 550 reais.
 b) dbito de 530 reais.
 c) crdito de 550 reais.
 d) crdito de 530 reais.
<L>
 8. Observe o extrato bancrio de Roberto:

 _`[{extrato adaptado_`]
 Banco Forte  Extrato  11/8/2009
 Extrato de conta corrente
 Agncia: 001  Conta: 012345-6
 Nome: Roberto Almeida
 Data -- Histrico -- Valor
 1/8 -- Saldo anterior -- 236,00
 4/8 -- Cheque compensado -- -51,00
 -- Saque carto -- -400,00
 -- Depsito -- +1.320,00
 7/8 Cheque compensado -- -92,00
 -- Cheque compensado -- -813,00
 8/8 Cheque compensado -- -45,00
 10/8 Cheque compensado -- -184,00
 -- Cheque compensado -- -90,00
 -- Depsito -- +352,00
 -- Saque carto -- -150,00
<p>
 -- Conta de luz -- -46,00
 -- Cheque compensado -- -120,00
 _`[{fim do extrato_`]
<F+>

 O saldo final de Roberto no dia 10/8/2009 foi:
 a) positivo em 83 reais.
 b) negativo em 83 reais.
 c) positivo em 120 reais.
 d) negativo em 150 reais.

 9. Quando multiplicamos um nmero x pelo
quadrado do nmero `(-10`), obtemos o nmero
-500. O nmero x :
 a) +5 
 b) -5 
 c) -25 
 d) +25 
 e) -10

 10. Dada a expresso a3-3a2x2, quando
a=10 e x=2, o valor numrico da expresso :
 a) -150 
 b) -100 
 c) +100 
 d) -200
 e) +200

 11. Calculando o valor da expresso numrica
`(-3`)2`[-9+`(-3`)3`]`(-3`)2, vamos obter o
nmero:
 a) -36 
 b) +36 
 c) -27 
 d) +27 
 e) -18

 12. Considere a expresso: `(-10`)3-9`(-10`)2
  `(-2`)2

 O nmero que representa a metade do valor
dessa expresso :
 a) -200 
 b) -100 
 c) +100 
 d) -1.100
 e) +1.100

<p>
 13. So dados os nmeros inteiros:
 A=`(-2`)3-`(-8`)`(-2`) e
 B=`(-2`)`(-1`)`(+1`)`(+2`)`(-1`)
  `(+2`)`(-2`).

 O valor de A+B :
 a) +6 
 b) -6 
 c) -2 
 d) -4 
 e) +4

 14. Qual  o nmero inteiro que representa
o valor da expresso 
`(-12`)2`(-7-11`)-`(-4+2-1`)
  `(-3`)2+`(-2`)4`(1-2`)3?
 a) -3 
 b) +3 
 c) +2 
 d) +4 
 e) -5

 15. So dados os nmeros inteiros:
x=-`(-3`)3-`(22`)3 e
y=`(-2`)3-`(-3`)2-`(-5`)0+
  +`(-2`)4, O produto xy  igual a:
 a) +74 
 b) -74 
 c) -37 
 d) +37 
 e) +111

 16. Quando a=-9, b=+2 e c=+10, o valor
numrico da expresso a3-`(b-c`)3 :
 a) +217 
 b) -217 
 c) -1.241 
 d) +1.241
 e) -729

 17. Sabe-se que o nmero x representa o
valor da expresso:
2-`[-1+`(-3+4`)-`(-2-6`)`]-
  -`(-3+5`).
Ento, o quadrado do nmero x :
<p>
 a) -16 
 b) +16 
 c) -64 
 d) +64 
 e) +36
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Segunda Parte